… CORDENADAS CARTESIANAS…
Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y
x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas
Coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Para representar en el espacio euclídeo puntos, líneas. Superficies, vectores, .. Etc, utilizamos como referencia tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí tal como vemos en la Fig. 7 (a). Utilizando como referencia estos ejes se pueden definir varios sistemas de coordenadas, de los cuales el más frecuentemente usado es el de coordenadas cartesianas (nombre dado en honor del filósofo y matemático francés René Descartes, 1596-1650). En este sistema un punto P está determinado por la intersección de 3 superficies (en este caso planos) perpendiculares entre sí (ortogonales) (Fig. 10) de ecuaciones x = x1, y = y1, z = z1. Decimos que el punto P tiene como coordenadas:: (x1, y1, z1),
4.1.1 Representación analítica de un vector en coordenadas cartesianas.
Utilizando este sistema de coordenadas podemos representar un vector en forma analítica definiendo 3 vectores unitarios, o sea, de módulo unidad y sin dimensiones, en cada uno de ejes de coordenadas y dirigidos en el sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores los designaremos siempre por i (en el eje x), j (en el eje y) y k (en el eje z). Un vector genérico se expresará así: F = Fx i + Fy j + Fz k, siendo Fx, Fy y Fz las tres componentes del vector F. Estas componentes son escalares y de las mismas dimensiones que F. En la Fig. 8 vemos las proyecciones del vector l, vector de posición del punto P, sobre los tres ejes de coordenadas, que son por otra parte las 3 componentes de dicho vector. Se pueden expresar en función de los ángulos , , y así:
x = l cos ; y = l cos ; z = l cos (4.24)
donde cos , cos y cos se denominan cosenos directores de l.
OP l x i + y j + z k; su módulo: (4.25)
En el ejemplo de la Fig. 7 (b), l -2 i + 3 j - 4 k, y su módulo:
.
Tomando incrementos en (4.25): l x i + y j + z k. Así pues, en este sistema un desplazamiento elemental dl (elemento de línea) se puede representar así:
dl = dx i + dy j + dz k y su módulo es (4.26)
el elemento de superficie ds tendrá esta expresión:
ds = dy.dz i + dx.dz j + dx.dy k (4.27)
y su módulo:
Igualmente un elemento de volumen es:
dv = dx . dy . dz (4.28)
CAMPOS VECTORIALES…
Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Rn → Rn queUn campo vectorial es en Rn es una aplicación F:A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En Rn → R que asigna un número a cada punto es uncontraste, una aplicación f:A campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.
…SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS…
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado.
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector unitario ( ).
, cuyo módulo es .
El valor de la coordenada X de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.
…SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS…
El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y
x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas
Coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Para representar en el espacio euclídeo puntos, líneas. Superficies, vectores, .. Etc, utilizamos como referencia tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí tal como vemos en la Fig. 7 (a). Utilizando como referencia estos ejes se pueden definir varios sistemas de coordenadas, de los cuales el más frecuentemente usado es el de coordenadas cartesianas (nombre dado en honor del filósofo y matemático francés René Descartes, 1596-1650). En este sistema un punto P está determinado por la intersección de 3 superficies (en este caso planos) perpendiculares entre sí (ortogonales) (Fig. 10) de ecuaciones x = x1, y = y1, z = z1. Decimos que el punto P tiene como coordenadas:: (x1, y1, z1),
4.1.1 Representación analítica de un vector en coordenadas cartesianas.
Utilizando este sistema de coordenadas podemos representar un vector en forma analítica definiendo 3 vectores unitarios, o sea, de módulo unidad y sin dimensiones, en cada uno de ejes de coordenadas y dirigidos en el sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores los designaremos siempre por i (en el eje x), j (en el eje y) y k (en el eje z). Un vector genérico se expresará así: F = Fx i + Fy j + Fz k, siendo Fx, Fy y Fz las tres componentes del vector F. Estas componentes son escalares y de las mismas dimensiones que F. En la Fig. 8 vemos las proyecciones del vector l, vector de posición del punto P, sobre los tres ejes de coordenadas, que son por otra parte las 3 componentes de dicho vector. Se pueden expresar en función de los ángulos , , y así:
x = l cos ; y = l cos ; z = l cos (4.24)
donde cos , cos y cos se denominan cosenos directores de l.
OP l x i + y j + z k; su módulo: (4.25)
En el ejemplo de la Fig. 7 (b), l -2 i + 3 j - 4 k, y su módulo:
.
Tomando incrementos en (4.25): l x i + y j + z k. Así pues, en este sistema un desplazamiento elemental dl (elemento de línea) se puede representar así:
dl = dx i + dy j + dz k y su módulo es (4.26)
el elemento de superficie ds tendrá esta expresión:
ds = dy.dz i + dx.dz j + dx.dy k (4.27)
y su módulo:
Igualmente un elemento de volumen es:
dv = dx . dy . dz (4.28)
CAMPOS VECTORIALES…
Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Rn → Rn queUn campo vectorial es en Rn es una aplicación F:A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En Rn → R que asigna un número a cada punto es uncontraste, una aplicación f:A campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.
…SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS…
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado.
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector unitario ( ).
, cuyo módulo es .
El valor de la coordenada X de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.
…SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS…
El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
… SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS…
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
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