ruiz.romerooia: septiembre 2008

TAREA 2:

1) CAMBIAR LAS COORDENADAS CILINDRICAS DADAS A COORDENADAS
RECTANGULARES.

a) ( 5, $\frac{\pi }{2}$ ,3)
b) ( 6, $\frac{\pi }{3}$ ,-5)

A.-

$x= r \cos{} \phi$
$y= r\sen{} \theta$
z=z

x=5(0)=0
y=5(1)=5

$x=5\cos{}\frac{\pi }{2}$
y=5 $\sen{}\frac{\pi }{2}$
z= 3

(o,5,3)

b) (6, $\frac{\pi }{3}$ ,-5)

$x=r\cos{} \phi$
$y=rsen \theta$
z=z

$x=6\cos{}\frac{\pi }{3}$

$y=6sen\frac{\pi }{3}$

z=-5

x= 6( $\frac{1}{6}$ )=3
y= 6 $\frac{1}{2}\sqrt[]{3}=5.2$
z=-5

(3,5.2,-5)

2) CAMBIAR LAS COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS ESFERICAS.

a) (1,1, $\sqrt[]{2}$ )
b) (1, $\sqrt[]{3}$ ,0)

B.-

$(x)= \rho=\sqrt[]{x^2}+y^2+z^2$
$(y)=tan^-1 \theta=\frac{y}{x}$
$(z)=\cos{} \phi=\frac{z}{\sqrt[]{x^2}+y^2+z^2}$

$x= \rho=\sqrt[]{(1)}^2+(1)^2+(\sqrt[]{2)^2}$
= $\sqrt[]{1+1+2}= 2$

$y=tan^-1=\frac{1}{1}=45 o \frac{\pi }{4}$

$(z)=\cos{} \phi=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{(1)^2}+(1)^2+\sqrt[]{2}^2}$ = $\frac{1.41}{2}=0.705 o, 45, o \frac{\pi }{4}$

$(2,\frac{\pi}{4},\frac{\pi }{4})$

B.-

$(X)=(x)= \rho=\sqrt[]{(1)^2}+\sqrt[]{(3)}^2+(0)^2 = \sqrt[]{1+3}=\sqrt[]{4}=2$

$(y)=tan^-1 \theta=\frac{3}{1}=1.73=59.97,O,60,O,\frac{\pi }{3}$

$(z)=\cos{} \phi=\frac{0}{\sqrt[]{(1)^2}+(\sqrt[]{3})^2+(0)^2}=\frac{0}{\sqrt[]{1+3}}=\frac{0}{\sqrt[]{4}}=0$

$(2,\frac{\pi }{3},0)$

3) CONVERTIR LAS COORDENADAS ESFERICAS DADAS A COORDENADAS CILINDRICAS.

a) $(4,\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3})$
b) $(2,\frac{5}{6}\pi,\frac{\pi }{4})$

A.- esfericas a cartersianas...

$x= \rho\sen{} \phi\cos{} \theta=4\sen{}\frac{\pi }{3}\cos{}\frac{\pi }{3}=4(.87)(.5)=x=1.74$
$y= \rho\sen{} \phisen \theta=4sen\frac{\pi }{3}sen\frac{\pi }{3}=4(.87)(.87)Y=3.03$
z=2

(1.74,3.03,2)

cartesiana a cilindrica ...

$r=\sqrt[]{x^2+y^2}=\sqrt[]{(1.74)^2+(3.03^2}=\sqrt[]{3+9}=\sqrt[]{12}=3.46$

$(y)=tan^-1 \theta=\frac{3}{1.74}= \theta=1=60=\frac{\pi }{3}$

Z= 2

$(3.46,\frac{\pi }{3},2)$

B.
esferica a cartesiana
$( \rho, \phi, \theta)$

$x= \rho\sen{} \phi\cos{} \theta=2\sen{}\frac{\5 }{6}\pi \cos{}\frac{\pi }{4}=x=2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}\sqrt[]{2})=0.70$

$y= \rho\sen{} \phisen \theta=2sen\frac{\5 }{6}\pi sen\frac{\pi }{4}=2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}\sqrt[]{2)=0.70$

$z= \rho\cos{} \phi=2\cos{}\frac{5}{\pi }2(-\frac{1}{2}\sqrt[]{3})= -\sqrt[]{3}$

$(0.70,0.70,\sqrt[]{3})$

cartesianas cilindricas...

$r=\sqrt[]{x^2+y^2}=\sqrt[]{(0.70)^2+(0.70^2}=\sqrt[]{0.49+0.49}=\sqrt[]{0.98}= 0.98$

$tan \theta=\frac{y}{x} \theta=tan^-1\frac{y}{x} \theta=tan^-1\frac{0.70}{0.70}=45$

z=z z= $\sqrt[]{3}$

$(1,45,\sqrt[]{3})$

4) DESCRIBIR LA GRAFICA DE LA ECUACION EN TRES DIMENSIONES.

a) $\phi=\frac{\pi }{6}$
b) $\rho=4\cos{} \phi$

A.-

$Z= \rho\cos{}\pi6$
$\cos{}\pi6=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
$z= \rho\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$\rho=\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}$
tenemos:
$z^2=(x^2+y^2+z^2)\frac{3}{4}$
$4z^2=(x^2+y^2+z^2)3$
$x^2+y^2-\frac{1}{3}z^2=0$

$(0,0,-\frac{1}{3})$

B.-
$\rho^2=4 \rho\cos{} \phi$

ecuacion cartesiana...

$x^2+y^2+z^2=4z$
$x^2+y^2+z^2-4z=0$

se acompleta con un trinomio cuadrado perfecto ...

$x^2+y^2+z^2+(\frac{4}{2})^2=(\frac{4}{2})^2$

$x^2+y^2+z^2+4=4$

(0,2,0) r=2

5) ENCONTRAR UNA ECUACION EN COORDENADAS CILINDRICAS Y UNA EN COORDENADAS ESFERICAS PARA LA GRAFICA DE LA ECUACION DADA.

a) $x^2+y^2+z^2=4$
b) $y^2+z^2=9$

esferica..
$\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}=2$
$\rho=2$

cilindrica...
$r^2=x^2+y^2 entonces: r^2+z^2=4 r+z=2 entonces: z=2r$

B.-
$y^2+z^2=9$
esferica...
$\rho^2=x^2+y^2+z^2 entonces: \rho^2-x^2=y^2+z^2 ., \rho^2-x^2=9$
$x^2= \rho^2sen^2 \phicos^2 \theta y \rho^2=\frac{x^2}{sen^2 \phicos^2 \theta}$
entonces:
$\frac{x^2}{sen^2 \phicos^2 \theta}=0 \longrightarrow{} 3sen \phicos \theta=0$

quitando raiz..
y+z=3

entonces: $rsen \theta+z=3$

domingo, 14 de septiembre de 2008

!!!! TAREA 2 !!!!

ruiz.romerooia

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